Ξεχάστε για λίγο τις τέλειες, αυστηρές γεωμετρικές αποδείξεις του Ευκλείδη και τους καθαρούς κανόνες του Αρχιμήδη που διδαχθήκαμε στα σχολικά βιβλία. Στην πραγματική ζωή της Ρωμαϊκής Αιγύπτου, τα μαθηματικά ήταν μια υπόθεση πολύ πιο ζωντανή, καθημερινή και… γεμάτη μουτζούρες. Όπως ακριβώς εμείς σήμερα χρησιμοποιούμε ένα κομμάτι πρόχειρο χαρτί για να κάνουμε γρήγορες πράξεις ή να λύσουμε ένα πρακτικό πρόβλημα, έτσι και οι αρχαίοι Έλληνες γραφείς επιστράτευαν τους παπύρους τους.
Μια ανατρεπτική νέα επιστημονική μελέτη έρχεται να ρίξει φως σε αυτά ακριβώς τα «πρόχειρα σημειωματάρια», αποκαλύπτοντας ότι τα δεκάδες σχέδια και σκίτσα που άφησαν πίσω τους οι γραφείς δεν ήταν απλές εικονογραφήσεις για διακόσμηση. Αντίθετα, ήταν το απόλυτο εργαλείο δουλειάς: Ένας «οπτικός υπολογιστής» της αρχαιότητας που χρησίμευε ταυτόχρονα ως πρόχειρο, μνημονικός κανόνας και μέσο επαλήθευσης των αποτελεσμάτων τους.
Όταν φέρνουμε στο μυαλό μας τα ελληνικά μαθηματικά, σκεφτόμαστε αμέσως τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη και τον Απολλώνιο τον Περγαίο: Κομψές αποδείξεις και γενικούς κανόνες. Παράλληλα, όμως, με αυτή τη λαμπρή παράδοση, υπήρχε και μια άλλη, πολύ πιο ταπεινή, που σπάνια βρίσκει κανείς στα σχολικά βιβλία.
Ήταν τα μαθηματικά της καθημερινής πράξης, της δουλειάς – και μια νέα μελέτη υποστηρίζει ότι οι άνθρωποι που τα εξασκούσαν βασίζονταν σε τεράστιο βαθμό στα σχέδια. Ο συγγραφέας είναι ο Τόμας Κέλι (Thomas Kelly), κλασικός φιλόλογος με σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Η μελέτη του, η οποία δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Historia Mathematica, αποτελεί τον πρώτο συστηματικό κατάλογο των γεωμετρικών διαγραμμάτων που διασώζονται σε ελληνικούς μαθηματικούς παπύρους.
Ο κεντρικός ισχυρισμός του Κέλι είναι ότι αυτά τα σκίτσα αποτελούσαν εργαλεία εργασίας για την επίλυση προβλημάτων και ήταν κάτι πολύ περισσότερο από απλή διακόσμηση. Οι ανασκαφές σε αιγυπτιακές τοποθεσίες όπως η Σοκνοπαίου Νέσος (σημερινή Ντιμέ, στο βόρειο Φαγιούμ) και η Θεαδέλφεια (Μπατν αλ-Χαρίτ) έχουν αποδώσει χιλιάδες παπύρους που περιέχουν αυτό που είναι γνωστό ως «πρακτικά μαθηματικά».
Επρόκειτο για εφαρμοσμένα μαθηματικά για καθημερινά προβλήματα: το εμβαδόν ενός χωραφιού, τον όγκο μιας σιταποθήκης ή την ποσότητα του χώματος που αφαιρέθηκε σε μια εκσκαφή. Τα κείμενα αυτά γράφτηκαν από γραφείς για γραφείς και ακολουθούν ένα σταθερό μοτίβο.
Κάθε κείμενο ξεκινά με ένα πρόβλημα που βασίζεται σε συγκεκριμένους αριθμούς και στη συνέχεια παραθέτει τα βήματα που οδηγούν στην απάντηση. Σχεδόν ποτέ δεν εξηγεί γιατί λειτουργούν αυτά τα βήματα.
Οι τρεις πάπυροι που ξεχωρίζουν
Εκεί ακριβώς έρχονται να βοηθήσουν τα διαγράμματα. Όπως επισημαίνει ο Κέλι, ο ρόλος των διαγραμμάτων σε αυτό το είδος των αρχαίων μαθηματικών αποτελούσε ένα σημαντικό κενό στην επιστημονική έρευνα. Ο ίδιος ανέλυσε δέκα παπύρους που περιλαμβάνουν γεωμετρικά διαγράμματα. Αυτοί καλύπτουν αρκετούς αιώνες και ένα ευρύ φάσμα από στυλ και περιβάλλοντα.
Τρεις από αυτούς ξεχωρίζουν:
• Ο πάπυρος «P. Math» είναι ένας κώδικας (ένα πρώιμο βιβλίο με δεμένες σελίδες αντί για ρολό) που δημοσιεύθηκε το 2019. Περιέχει περισσότερα διαγράμματα από οποιονδήποτε άλλον γνωστό ελληνικό πάπυρο και πιθανότατα αποτελούσε σχολικό εγχειρίδιο για την εκπαίδευση μελλοντικών επιχειρηματιών.
• Ο πάπυρος «MPER N.S. 1.1» είναι ένα παπύρινο ρολό που πιθανώς χρονολογείται στον 1ο αιώνα μ.Χ., το οποίο περιλαμβάνει 27 διαγράμματα στερεών, τρισδιάστατων σχημάτων.
• Ο πάπυρος «P. Chic. 3» είναι μοναδικός επειδή τα κείμενά του δεν αναφέρουν ποτέ τις διαστάσεις των σχημάτων. Ο αναγνώστης είναι αναγκασμένος να πάρει κάθε μέτρηση απευθείας από το ίδιο το σχέδιο.
Σχέδια που «σκέφτονταν» για τον γραφέα: Όταν το διάγραμμα έλυνε το πρόβλημα
Ο Κέλι εξέτασε τι σχεδίαζαν οι γραφείς, αλλά και ποιος ήταν ο σκοπός αυτών των σχεδίων. Το συμπέρασμά του είναι ότι τα διαγράμματα έπαιζαν έναν καθοριστικό γνωστικό ρόλο για όποιον προσπαθούσε να λύσει ένα πρόβλημα. Φανταστείτε τα σαν έναν συνδυασμό πρόχειρου χαρτιού, σημείωσης post-it και λυσίματος. Τα σκίτσα λειτουργούσαν με τρεις τρόπους:
• Ένας χώρος εργασίας: Οι γραφείς σημείωναν ενδιάμεσα αποτελέσματα δίπλα στο σχήμα, όπως τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου (κάθε μήκος πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του), επειδή θα χρειάζονταν αυτούς τους αριθμούς αργότερα. Στην πραγματικότητα, μετέφεραν ένα μέρος της μνήμης τους πάνω στον πάπυρο, ελευθερώνοντας την προσοχή τους για το επόμενο βήμα. Στον πάπυρο «P. Math», οι αριθμοί δίπλα στις πλευρές ορισμένων σχημάτων δεν είναι πραγματικές μετρήσεις. Είναι παράγωγες τιμές που ο γραφέας ήθελε να θυμάται.
• Ένα βοήθημα για τη μνήμη: Ορισμένα προβλήματα έχουν πολλά στάδια, όπως η εύρεση του εμβαδού ενός ακανόνιστου τετράπλευρου σχήματος μέσω του χωρισμού του σε απλούστερα σχήματα. Το διάγραμμα κρατούσε κάθε τιμή και την προέλευσή της σε τάξη, ώστε ο γραφέας να μη χαθεί σε έναν λαβύρινθο αριθμών. Στον πάπυρο «P. Bagnall 35», ένα πρόβλημα εμβαδού με εσωτερικές υποδιαιρέσεις θα είχε αναγκάσει τον γραφέα να συγκρατεί έναν τεράστιο όγκο τιμών στο μυαλό του ταυτόχρονα, αν δεν είχε το σχέδιο.
• Ένας τρόπος επαλήθευσης του αποτελέσματος: Όταν η τελική απάντηση αναγραφόταν πάνω στο διάγραμμα, ο αναγνώστης μπορούσε να δει με μια ματιά αν η διαδικασία είχε λειτουργήσει σωστά. Ο Κέλι περιγράφει μια τάση προς την πλήρη αναγραφή στοιχείων. Σε μια σύγχρονη εξέταση, το διάγραμμα συνήθως κρύβει την απάντηση, ενώ αντίθετα οι πάπυροι αναγράφουν τα πάντα, συμπεριλαμβανομένης της λύσης.
Τρίγωνα, κύκλοι και στερεά: Τα σχήματα που έδιναν λύσεις στην καθημερινότητα της αρχαιότητας
Τα ορθογώνια τρίγωνα σχεδιάζονται με έναν πολύ τυποποιημένο τρόπο, με την ορθή γωνία κάτω αριστερά και συχνά με βάση φαρδύτερη από το ύψος, ακόμη και όταν οι αριθμοί έλεγαν το αντίθετο.
Σύμφωνα με τον Κέλι, η ιδέα του πώς θα έπρεπε να μοιάζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο φαίνεται ότι μετρούσε περισσότερο από μια ακριβή απεικόνιση. Οι κύκλοι ήταν πιο δύσκολη υπόθεση. Το να σχεδιάσει κανείς έναν τέλειο κύκλο πάνω σε πάπυρο ήταν δύσκολο, και οι περισσότεροι σχεδιάζονταν ελεύθερα με το χέρι, χωρίς διαβήτη. Συχνά συμπιέζονταν για να χωρέσουν σε μια γραμμή διαμέτρου που είχε σχεδιαστεί εκ των προτέρων.
Στον πάπυρο «P. Math» οι κύκλοι τείνουν να είναι τεντωμένοι κατακόρυφα, ενώ σε άλλα κείμενα είναι πιο πλατιοί παρά ψηλοί. Τα στερεά σχήματα παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη ποικιλία. Ο πάπυρος «MPER N.S. 1.1», ο οποίος θεωρείται ο παλαιότερος της ομάδας, περιέχει προσπάθειες σχεδίασης τρισδιάστατων μορφών με τη χρήση μιας μορφής γραμμικής προοπτικής, κάτι που είναι ασυνήθιστο για αυτού του είδους τα κείμενα.
Άλλοι πάπυροι προτιμούν μια πιο σχηματική προσέγγιση, δείχνοντας και τις δύο άκρες ενός αντικειμένου ταυτόχρονα. Στον πάπυρο «P. Math», το πρόβλημα g4 δείχνει έναν κύλινδρο με ορατές και τις δύο κυκλικές βάσεις του μαζί, κάτι που το ανθρώπινο μάτι δεν θα μπορούσε ποτέ να δει στην πραγματικότητα.
Αυτή η σύμβαση καθιστούσε τις διαστάσεις πιο ευανάγνωστες, και για τις ανάγκες ενός υπολογισμού αυτό ήταν υπεραρκετό.
Μια απευθείας «γραμμή» με το παρελθόν: Πώς μεταδιδόταν η γνώση στην αρχαιότητα
Οι πάπυροι αποκαλύπτουν επίσης πολύτιμα στοιχεία για τον τρόπο με τον οποίο μεταδιδόταν η μαθηματική γνώση. Ο Κέλι τονίζει ότι αυτά τα διαγράμματα αποτελούν μια άμεση πηγή, η οποία βρίσκεται πολύ πιο κοντά στη στιγμή που χρησιμοποιήθηκε η γνώση, σε αντίθεση με τα μεσαιωνικά αντίγραφα μέσω των οποίων έφτασαν σε εμάς τα έργα του Ευκλείδη ή του Αρχιμήδη.
Τα προβλήματα στους ελληνικούς παπύρους μοιράζονται κοινά χαρακτηριστικά με τα μαθηματικά κείμενα της αρχαίας Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας.
Επικεντρώνονται σε συγκεκριμένους αριθμούς και δεν περιλαμβάνουν γενικές αποδείξεις.
Ωστόσο, η συστηματική χρήση των διαγραμμάτων ως εργαλείων υπολογισμού φαίνεται να αποτελεί ένα ιδιαίτερο γνώρισμα του ελληνορωμαϊκού κόσμου, ειδικά στα σχολεία της Ρωμαϊκής Αιγύπτου.
Η διαφορά μεταξύ ενός αυθεντικού διαγράμματος και μιας σύγχρονης έκδοσης μπορεί να αποδειχθεί ιδιαίτερα αποκαλυπτική. Ο Κέλι δίνει ένα παράδειγμα από την έκδοση του παπύρου «MPER N.S. 1.1» του 1932, όπου το σχέδιο μιας πυραμίδας είχε «ωραιοποιηθεί» και τυποποιηθεί.
Με αυτόν τον τρόπο, το σχέδιο έχασε τον τρισδιάστατο χαρακτήρα του και, ενδεχομένως, ορισμένες από τις πληροφορίες που μετέφερε αρχικά. Ο Κέλι ελπίζει ότι ο κατάλογός του θα βοηθήσει τους μελλοντικούς μελετητές να αποφύγουν τα προβλήματα που δημιουργεί αυτή η εσκεμμένη τυποποίηση.
enikos.gr
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου